《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT-第一PPT

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《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT

第一部分内容：课标阐释

1.能够根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.

2.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化简等问题.

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两角和与差的正弦余弦正切公式PPT，第二部分内容：自主预习

一、两角和的余弦公式

1.由cos(α-β)=cos αcos β sin αsin β以及诱导公式sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,能否将cos(α β)用α,β角的正弦和余弦表示?

提示:cos(α β)=cos [α-(-β)]=cos αcos(-β) sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β

2.填空

cos(α β)=cos αcos β-sin αsin β.

二、两角和与差的正弦公式

1.cos(α-β)=cos αcos β sin αsin β以及诱导公式sin(π/2 “-” α)=cos α,cos(π/2 “-” α)=sin α,能否将sin(α-β)以及sin(α β)用α,β角的正弦和余弦表示?

提示:sin(α-β)=cos [π/2 “-(” α”-” β”)” ]=cos [(π/2 “-” α) β]

=cos(π/2 “-” α)cos β-sin(π/2 “-” α)sin β

=sin αcos β-cos αsin β,

同理,由sin(α β)=sin [α-(-β)],可推得sin(α β)=sin αcos β cos αsin β.

2.填空

(1)sin(α β)=sin αcos β-cos αsin β.

(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.

3.判断正误

(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(　　)

(2)sin α sin β=sin(α β).(　　)

(3)sin(α β-15°)=sin(α-15°)cos β cos(α-15°)sin β.(　　)

(4)sin 15° cos 15°= sin 60°.(　　)

答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

三、两角和与差的正切公式

1.(1)求tan 15°的值.

提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=(√6 “-” √2)/4,

cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30° sin 45°sin 30°=(√6 √2)/4,∴tan 15°=sin15″°” /cos15″°” =(√6 “-” √2)/(√6 √2)=2-√3.

(2)根据同角三角函数的商数关系tan θ=sinθ/cosθ,怎样由sin(α β)以及cos(α β)的公式将tan(α β)用tan α,tan β来表示?如何将tan(α-β)用tan α,tan β来表示?

提示:tan(α β)=(sin”(” α β”)” )/(cos”(” α β”)” )=(sinαcosβ cosαsinβ)/(cosαcosβ”-” sinαsinβ)

=((sinαcosβ cosαsinβ)/cosαcosβ)/((cosαcosβ”-” sinαsinβ)/cosαcosβ)=(tanα tanβ)/(1″-” tanαtanβ),

tan(α-β)=tan[α (-β)]

=(tanα tan”(-” β”)” )/(1″-” tanαtan”(-” β”)” )=(tanα”-” tanβ)/(1 tanαtanβ).

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两角和与差的正弦余弦正切公式PPT，第三部分内容：探究学习

化简与求值

例1化简下列各式:

(1)(sin47″°-” sin17″°” cos30″°” )/cos17″°” ;

(2)cos(x 27°)cos(x-18°) sin(x 27°)sin(x-18°);

(3)tan 12° tan 33° tan 12°tan 33°;

(4)(tan 10°-√3)•cos10″°” /sin50″°” ;

(5)(1 tan 21°)(1 tan 22°)(1 tan 23°)(1 tan 24°).

解:(1)原式=(sin”(” 30″°” 17″°)-” sin17″°” cos30″°” )/cos17″°”

=(sin30″°” cos17″°” cos30″°” sin17″°-” sin17″°” cos30″°” )/cos17″°”

=(sin30″°” cos17″°” )/cos17″°” =1/2.

(2)原式=cos[(x 27°)-(x-18°)]=cos 45°=√2/2.

(3)∵(tan12″°” tan33″°” )/(1″-” tan12″°” tan33″°” )=tan(12° 33°)=tan 45°=1,

∴tan 12° tan 33°=1-tan 12°tan 33°,

∴tan 12° tan 33° tan 12°tan 33°=1.

(4)原式=(tan 10°-tan 60°)•cos10″°” /sin50″°”

=(sin10″°” /cos10″°” “-” sin60″°” /cos60″°” )•cos10″°” /sin50″°”

=(sin10″°” cos60″°-” sin60″°” cos10″°” )/(cos10″°” cos60″°” )•cos10″°” /sin50″°”

=-(sin”(” 60″°-” 10″°)” )/(cos10″°” cos60″°” )•cos10″°” /sin50″°”

=-1/cos60″°”

=-2.

(5)∵(1 tan 21°)(1 tan 24°)

=1 tan 21° tan 24° tan 21°tan 24°

=1 tan(21° 24°)(1-tan 21°tan 24°) tan 21°tan 24°

=1 (1-tan 21°tan 24°)tan 45° tan 21°tan 24°

=1 1-tan 21°tan 24° tan 21°tan 24°=2.

同理可得(1 tan 22°)(1 tan 23°)=2,∴原式=2×2=4.

反思感悟 1.公式的巧妙运用

①顺用:如本题中的(1);②逆用:如本题中的(2);③变用:变用涉及两个方面,一个是公式本身的变用,如cos(α β) sin αsin β=cos αcos β,一个是角的变用,也称为角的拆分变换,如α=(α β)-β,2α=(α β) (α-β)等,从某种意义上来说,是一种整体思想的体现,如cos(α β)cos β sin(α β)sin β=cos[(α β)-β]=cos α.这些需要在平时的解题中多总结、多研究、多留心,唯其如此才能在解题中知道如何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切化弦,将特殊值化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan 60°等.

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两角和与差的正弦余弦正切公式PPT，第四部分内容：思维辨析

忽视隐含条件致误

典例已知tan α,tan β是关于x的方程x2-5√3x 6=0的两个根,且α,β∈(“-” π/2 “,” π/2),求sin (α β)/2的值.

错解由已知得tan α tan β=5√3,tan αtan β=6,因此tan(α β)=(tanα tanβ)/(1″-” tanαtanβ)=(5√3)/(1″-” 6)=-√3.

又因为α,β∈(“-” π/2 “,” π/2),所以α β∈(-π,π),于是α β=2π/3或α β=-π/3,

从而(α β)/2=π/3 或 (α β)/2=-π/6,

故sin (α β)/2=√3/2或-1/2.

错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误?

提示:错解中忽视了两个根tan α,tan β都大于零的条件,没有将α,β∈(“-” π/2 “,” π/2)应进一步缩小为α,β∈(0″,” π/2),从而导致增解.

正解:由已知得tan α tan β=5√3,tan αtan β=6,因此tan(α β)=(tanα tanβ)/(1″-” tanαtanβ)=(5√3)/(1″-” 6)=-√3,

又tan α tan β=5√3>0,tan αtan β=6>0,所以tan α>0,tan β>0,又因为α,β∈(“-” π/2 “,” π/2),所以必有α,β∈(0″,” π/2),则α β∈(0,π),