《习题课 基本不等式的应用》一元二次函数、方程和不等式PPT

《习题课 基本不等式的应用》一元二次函数、方程和不等式PPT

第一部分内容：课标阐释

1.能够利用基本不等式求函数的最值和代数式的最值.

2.能够利用基本不等式解决实际问题中的最值问题.

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习题课基本不等式的应用PPT，第二部分内容：自主预习

利用基本不等式求函数、代数式,及实际问题中的最值

1.(1)基本不等式√ab≤(a b)/2应用的条件是什么?

提示:一正二定三相等,即:①a,b均为正数;②a b和ab中有一个为定值;③不等式中的等号必须能取到.

(2)已知(a b)/2≥√ab,其中a>0,b>0,若ab为常数P,那么a b的值如何变化?

(3)若a b为常数S,那么ab的值如何变化?

提示:当且仅当a=b时,ab有最大值1/4S2.

2.填空 

公式的等价变形:ab≤(a^2 b^2)/2,ab≤ (a b)/2 2.

3.做一做

(1)函数f(x)=x   (x<0)的最大值为________; 

(2)若正数a,b满足2a 3b=8,则ab的最大值是________. 

解析:(1)由于x<0,所以f(x)=x 9/x=-["(-" x")" ("-"  9/x)]≤-2√("(-" x")•" ("-"  9/x) )=-6,当且仅当-x=-9/x,即x=-3时,函数取最大值-6.

(2)由于a,b>0,所以ab=1/6•2a•3b≤1/6•((2a 3b)/2)^2=8/3,当且仅当2a=3b,即a=2,b=4/3时,ab取最大值8/3.

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习题课基本不等式的应用PPT，第三部分内容：探究学习

探究一利用基本不等式求函数和代数式的最值

1.通过变形后应用基本不等式求最值

例1求下列函数的最值,并求出相应的x值.

(1)y=x 1/2x(x<0);

(2)y=1/(x”-” 3) x(x>3);

(3)y=x(1-3x) 0<x<1/3 .

解:(1)y=x 1/2x=- (-x) 1/(2″(-” x”)” ) ≤-2√(“(-” x”)•”  1/(2″(-” x”)” ))=-√2,当且仅当x=1/2x(x<0),即x=-√2/2时,y取最大值-√2.

(2)y=1/(x”-” 3) x=1/(x”-” 3) (x-3) 3≥2√(1/(x”-” 3) “•(” x”-” 3″)” ) 3=5,当且仅当1/(x”-” 3)=x-3(x>3),即x=4时,y取最小值5.

(3)y=x(1-3x)=1/3×3x(1-3x)≤1/3× (3x “(” 1″-” 3x”)” )/2 2=1/12,当且仅当3x=1-3x,即x=1/6时,y取最大值1/12.

反思感悟  利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性(在第三章学习). 

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习题课基本不等式的应用PPT，第四部分内容：随堂演练

1.函数y=2x(2-x)(其中0<x<2)的最大值是(　　)

A.1/4 B.1/2 C.1 D.2

解析:∵0<x<2,∴y=2x(2-x)≤2 (x 2"-" x)/2 2=2,当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,函数的最大值是2.

答案:D 

2.设x>0,y>0,x y=4,则1/x 4/y的最小值为_______. 

解析:∵x y=4,∴1/x 4/y=1/4   1/x 4/y (x y)=1/4 5 y/x 4x/y ,

又x>0,y>0,则y/x 4x/y≥2√(y/x “•”  4x/y)=4 当且仅当y/x=4x/y时取等号 ,

则1/x 4/y≥1/4×(5 4)=9/4.

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