《直线和圆的位置关系》圆PPT优质课件(第2课时)

人教版九年级数学上册《直线和圆的位置关系》圆PPT优质课件(第2课时)，共36页。

素养目标

1. 会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.

2. 理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.

3. 能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.

探究新知

切线的判定方法

直线 l 和⊙O有什么位置关系?

如图，在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线 l 的距离是多少？

这时圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径．

由d=r  直线 l 是⊙O的切线．

问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？

观察：（1） 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?

（2）二者位置有什么关系？为什么？

切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

在切线的判定定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.

判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：

1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;

2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；

3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

通过证明角是90°判断圆的切线

例1 如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，点A,且AB=AC.

求证：AC是☉O的切线. 

分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.

通过证明垂直判断圆的切线

例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.

证明：连接OC(如图).

∵ OA＝OB,CA＝CB,   

∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　

∴ AB⊥OC. 

∵ OC是⊙O的半径,

∴ AB是⊙O的切线.

证切线时辅助线的添加方法

(1) 有交点，连半径,证垂直;

(2) 无交点，作垂直,证半径.

有切线时常用辅助线添加方法

见切点，连半径，得垂直.

切线的其他重要结论

(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;

(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

切线的性质定理

切线性质 

圆的切线垂直于经过切点的半径． 

性质定理的证明

证法1：反证法.

证明：假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M.

则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.

所以AB与CD垂直.

证法2：构造法.

作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点.连接OA,根据垂径定理，则CD ⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．

利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.

… … …

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